CÔNICAS: ELIPSE

1. Um pouco da história da Elipse

Apolônio de Perga apelidado de Épsilon dedicou-se principalmente ao estudo de uma família de curvas denominadas de — cônicas. Em Cônicas, composto por 8 livros onde os quatro primeiros, eram uma introdução bastante elementar às propriedades básicas das cônicas. Os volumes 5 a 7, bastante originais, Apolônio discute normais às cônicas mostrando quantas podem ser desenhadas a partir de um ponto. Além disso, deu proposições que determinavam o centro de curvatura, o que conduzia imediatamente à equação cartesiana. Desenvolveu o hemicyclium (um relógio de sol, que tinha as linhas das horas desenhadas na superfície de uma secção cônica, obtendo grande precisão).

Com a sua obra, deu um "fecho de ouro" na geometria grega. Tanto Apolônio como Arquimedes fizeram suas investigações matemáticas dentro de um espírito platônico, isto é, na mais alta abstração dos fatos concretos que deram origem às mesmas.

O Homem teve sempre necessidade de explicar os fenômenos que observava na Natureza. Ao longo do tempo foi encontrando modelos para explicar o funcionamento do Sistema solar.

As civilizações antigas dedicaram-se ao estudo da astronomia principalmente com fins práticos. Utilizavam-na, por exemplo, para realizar previsões acerca de acontecimentos importantes, ou para determinar as estações do ano a fim de procederem às atividades agrícolas nas alturas corretas. Mais tarde, as razões vieram a alterar-se, mas o interesse pela astronomia manteve-se sempre.

Os primeiros modelos de que há registro consideravam que as órbitas planetárias eram circulares. Assim mesmo começou por considerar Johannes Kepler, chegando à discordância entre os resultados teóricos e as observações do astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, em que se apoiou.

Essa discordância veio a ser resolvida quando deduziu que as órbitas planetárias eram elípticas e publica em 1609 a sua descoberta de que a órbita de Marte em torno do Sol é uma elipse.

A partir daí as cônicas, objetos até então exclusivamente matemáticos, revelaram a sua estreita ligação com a Natureza, em particular com as trajetórias dos planetas no Sistema Solar. Esta descoberta, associada aos estudos de Galileu, levou posteriormente (em 1680) Isaac Newton a formular a sua lei da gravitação universal.

2. Definição

Uma elipse é um conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante (2a) e maior do que a distância entre eles. Os pontos fixos são os focos da elipse. À distância entre os focos chama-se distância focal (2c). Os elementos da elipse são: o centro, o eixo maior, o eixo menor, os focos e os vértices. Os eixos de simetria da elipse são: x=0 e y=0.

Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a > c. Assim é que temos por definição:PF1 + PF2 = 2 aOs pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com distancia focal da elipse. O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse. Como, por definição, a > c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é um número positivo menor que a unidade.


3. Equação reduzida da elipse

Simbolicamente, se F1 e F2 são os focos com distância 2c entre eles e estabelecemos 2a (2a>2c), temos uma elipse constituída dos pontos P tais que d(P, F1) + d(P, F2) = 2a.

e = c/a

O eixo maior é o segmento da reta pelos focos, compreendida entre os dois pontos da elipse nesta reta (vértices), e tem comprimento 2a.

O centro da elipse é o ponto de simetria da elipse, e está localizado no ponto médio entre os focos.

O eixo menor é o segmento entre dois pontos da elipse localizados na reta perpendicular ao eixo maior, passando pelo centro. Tem comprimento 2b, onde b² = a² – c².

Os eixos maior e menor são eixos de simetria da elipse.

Vamos agora deduzir a equação da elipse com centro na origem e focos no eixo Ox:
Sejam F1=(c,0), F2=(-c,0) os focos e P = (x,y) da elipse. Então:

A partir daí

Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:


Simplificando e isolando a raiz:

Donde, elevando novamente ao quadrado ambos os membros,

Portanto, simplificando:

Dividindo ambos os membros por a²b², onde b² = a² – c², chegamos a

4. Algumas curiosidades...

1) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória. A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.

2) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.

3) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.

4) A trajetória ao redor do Sol não é circular e sim elíptica (não considerando o deslocamento do sistema solar). Foi Kepler (1571-1630) quem desenvolveu esta teoria. No caso da Terra os semi-eixos são a = 153.493.000 km e b = 153.454.000 km. Donde podemos obter a excentricidade da órbita da Terra: (quase uma circunferência) O eixo maior apresenta dois pontos: o periélio (janeiro) e o afélio (julho), que correspondem às distâncias mínimas e máxima da Terra ao Sol, respectivamente. Ademais, no globo terrestre (geóide) o equador tem aproximadamente a forma de uma circunferência e o meridiano de uma elipse.

5) Sob uma abóboda elíptica os sons emitidos em um foco têm melhor audibilidade nos pontos próximos ao outro foco, não obstante serem praticamente inaudíveis na região intermediária aos dois focos.

6) O mais portentoso monumento arquitetônico da Roma antiga foi o Coliseu. A planta baixa possuía a forma elíptica, cujo eixo maior tinha 188m e o menos 156m. Começou a ser construído em 72 por Vespasiano e foi concluído em 82 por Tito. A cobertura móvel, à altura de 85m, era sustentada por um sistema inédito de tirantes, adicionada em caso de chuva para proteger seus 40.000 espectadores. Diante da tribuna imperial, os garbosos gladiadores romanos desfilavam antes da luta e proferiam em alto e bom som: “Ave, César, morituri te salutant” (Salve, César, os que vão morrer te saúdam). exemplo:Uma aplicação óptica pode ser encontrada no dispositivo de iluminação dos dentistas. Este consiste num espelho com a forma de um arco de elipse e numa lâmpada que se coloca no foco mais próximo. A luz da lâmpada é concentrada através do espelho no outro foco, que é ajustado pelo dentista para estar num ponto dentro da boca de seu pacienteexemplo:Ao estudar a órbita de Marte, Kepler pôde verificar que esta não podia ser circular elamais se parecia com uma oval. Vários cálculos foram feitos e ele verificou que a órbita deMarte era uma elipse de excentricidade 0,093 com o Sol em um dos focos.

5. Aplicações

Em nosso dia-a-dia, as parábolas são utilizadas em diversos equipamentos e sistemas de vital importância para nossa sociedade. Dentre eles, podemos destacar:

Antenas Parabólicas e Radares

É comum observarmos no alto de residências e edifícios as Antenas Parabólicas, que captam ondas eletromagnéticas que são enviadas por satélites em órbita ao redor da terra. Isto somente é possível devido à propriedade da parábola de refletir o conjunto de raios recebidos em um único ponto (o foco da parábola). Neste ponto encontra-se posicionado o receptor de ondas, que enviará o sinal recebido para um conversor que as decodificará e enviará para o receptor de televisão. Os aparelhos de radar operam de forma semelhante às antenas parabólicas, recebendo o eco de pulsos eletromagnéticos.

Faróis de veículos

Os refletores parabólicos de faróis e lanternas permitem que a luz da lâmpada localizada no foco se propague em raios paralelos ao eixo da parábola formando o facho. As lentes parabólicas posicionadas na parte de trás dos faróis dos veículos permitem que a luz gerada pelos mesmos seja direcionada para um ponto específico, o foco da parábola, que normalmente é apontado para o solo, evitando desta forma que a luz de um carro ofusque a visão de um motorista que venha em direção oposta.

Construção civil

(a) Arcos em forma de semi-elipse são muito empregados na construção de pontes de concreto e de pedras (desde os antigos romanos)

(b) Engenharia Civil: em Resistência dos Materiais é muito empregada a elipse de inércia. Engenharia Elétrica: conjuntos de elipses homofocais (elipses de mesmo foco) são utilizadas na teoria de correntes elétricas estacionárias. Engenharia Mecânica: são usadas engrenagens elípticas (excêntricos).

6. Métodos de Construção da Elipse

Existem vários métodos de construção da elipse entre os quais destacamos o método do jardineiro (figura abaixo), e o método de alongamento de uma circunferência (adiante).
O método do jardineiro consiste, como se pode observar na fig. 1, em espetar duas hastes verticais no chão, atar as extremidades de uma corda a cada uma das hastes e com um pau encostado à corda ir traçando a elipse no chão, mantendo sempre a corda esticada. O comprimento da corda deve, obviamente, ser superior à distância entre as hastes.

O método de alongamento de uma circunferência consiste em, partindo de uma circunferência de um determinado diâmetro, com centro na origem de um referencial, multiplicar as abcissas de todos os pontos da circunferência por um factor de alongamento. O diâmetro da circunferência deve ser igual ao eixo menor da elipse que se pretende traçar. O factor de alongamento deve ser escolhido por forma a que quando multiplicado pelo diâmetro da circunferência dê a medida do eixo maior da elipse.

Para traçar uma elipse num retângulo basta dividir as duas metades de um dos lados do retângulo e a metade do segmento perpendicular ao lado escolhido e que une o ponto médio deste ao ponto médio do lado oposto, num número par de partes. Determine, de seguida, as intersecções das retas obtidas quando se une X e Y aos pontos marcados (como se pode observar na figura).




7. Construção de uma elipse

A elipse é definida como o lugar geométrico dos pontos de um plano cujas somas das distâncias a dois pontos fixos do plano (focos) têm valor constante e maior que a distância entre os pontos.Para esta atividade fixaremos a distância entre os focos como sendo 20 cm e a distância fixa com 30 cm.

a) Sobre uma folha de papel das dimensões de ofício (31,5 x 21,5 cm, aproximadamente) marque 2 pontos (F1 e F2) separados pela distância de 20 cm (na direção de seu comprimento).

b) Fixe sobre cada um desses pontos um alfinete ou percevejo.

c) Amarre as extremidades de um fio de linha ou cordoné a cada um dos alfinetes, de modo que, esticado o fio, os dois segmentos somados tenham comprimento de aproximadamente 30cm (veja a ilustração).

d) Estique o fio (sempre preso aos alfinetes) com a ponta do lápis e trace uma curva. Essa curva é a elipse.

8. ATIVIDADES DE FIXAÇÃO: Exercícios de fixação em sala de aula

1) Encontrar o eixo menor de uma elipse sendo dados o eixo maior e a distância entre os focos.
Sejam dados AA' e a distancia focal FF'. Trace a mediatriz de AA' encontrando assim o centro O da elipse. Centre a ponta seca do compasso no ponto F e com abertura igual à OA trace um arco que corte a reta mediatriz nos pontos B e B'. O eixo menor procurado é o segmento BB'.

2) Traçar uma Elipse pelo método do jardineiro (barbante) sendo dados o eixo maior e os focos.
Sejam dados o eixo maior AA' e a distância focal FF'. Corte um barbante que tem por comprimento a distância do eixo maior AA' e fixe-o em F e F'. Coloque a ponta do lápis no ponto B tomando o cuidado de esticar o barbante. Movimente o lápis sempre com o barbante esticado de forma a marcar vários pontos no papel. Em seguida trace a Elipse movimentando o lápis que se encontra preso no ponto B do barbante. Este processo do jardineiro é assim chamado e que pode ser utilizado na construção de elipses em jardins e outras áreas maiores com o uso de barbante e estacas.

3) Encontrar os focos de uma elipse sendo dados o eixo maior e o menor.
Sejam os eixos AA' e BB' dados que se intersectam no ponto O (centro da
elipse). Coloque a ponta seca do compasso no ponto B e com abertura igual à
OA trace um arco que corte o eixo AA', encontrando assim os pontos F e F'
(focos da elipse).

4) Traçar uma Elipse pelo método de "SCHOOTEN" (tira de papel) sendo dados os dois eixos .
Sejam dados os eixos AA' e BB', Corte uma tira de papel, marque nela os pontos P, A e B. O segmento PB deve ser igual ao eixo maior e o segmento PA deve ser igual ao eixo menor. Coloque a tira de papel posicionada de tal forma que o ponto A fique sobre o eixo AA' e o ponto B fique sobre o eixo BB' e marque um ponto onde estiver o ponto P. Mude a posição da tira de papel, mas tomando o cuidado de deixar o ponto A sempre sobre o eixo AA' e o ponto B sempre sobre o eixo BB'. Assim vá mudando sucessivamente a posição da tira e marcando os pontos de Elipse. Ao marcar todos os pontos , trace a Elipse. Ao ligar todos os pontos teremos a Elipse.

5) Traçar a elipse pelo método dos pontos sendo dados os dois eixos.
Sendo os eixos AA' e BB’. Encontre os focos F e F’. Marque a partir do ponto F os pontos 1,2,3,4,5 e a partir do ponto F' os pontos 1',2',3',4',5'. Coloque aponta seca do compasso no ponto F e com abertura igual a 1'A', 2'A’, 3'A', 4'A' e 5'A' trace cinco arcos Com centro em F' e abertura 1A, 2A, 3A, 4A, 5A trace os arcos. Com centro em F' e abertura 1A’, 2A', 3A', 4A' e 5A', trace arcos que cortam os anteriores encontrando assim pontos da elipse. Com centro em F e abertura 1'A, 2'A, 3'A, 4'A e 5'A, trace arcos que cortam os anteriores encontrando assim os pontos da elipse. Ligue os pontos encontrados traçando assim a elipse.

5) Parte II

6) Traçar a Elipse pelo método dos círculos principais sendo dados os dois eixos.
Sejam os dois eixos AA' e BB', encontre os focos F e F'. Trace um dos círculos principais: centre o compasso no ponto O e trace uma circunferência de raio OA. Trace o outro circulo principal com centro O e raio OB. Divida o circulo maior em n partes iguais (N=16 , por exemplo). Divida o círculo menor no mesmo número de partes. Em seguida trace retas perpendiculares ao eixo AA' pelos pontos que dividem a circunferência maior. Em seguida trace retas perpendiculares ao eixo BB' pelos pontos que dividem a circunferência menor. Na intersecção das retas tem os pontos da Elipse. Ligue os pontos para obter a Elipse.

6) Parte II

7) Encontre os focos e os vértices da elipse x2/16 + y2/9 = 1.

Resolução: a = 4 e b = 3. O centro da elipse está na origem e seu eixo maior sobre o eixo x, então os vértices do eixo maior são (– 4, 0) e (4, 0) e os do eixo menor são (0, 3) e (0, – 3). Como c2 = a2 – b2, então c = √7. Os focos são (– √7, 0) e (√7, 0).

8) Encontre uma equação para a elipse com focos (0, 2) e (0, – 2) e vértices (0, 3) e (0, – 3).

Resolução: O centro da elipse está na origem e seu eixo maior sobre o eixo y, então a sua equação é da forma
x2/b2 + y2/a2 = 1. Temos que c = 2 e a = 3. Como c2 = a2 – b2, então b = √5. A equação é x2/5 + y2/9 = 1.

9) Determine o eixo menor, o centro, os vértices e os focos da cônica de equação dada por x2 + 4y2 + 4x – 24y + 24 = 0.

Resolução: Organizando e completando os quadrados temos: x2 + 4x + 4 – 4 + 4[y2 – 6y + 9 – 9] + 24 = 0, ou seja, (x + 2)2 – 4 + 4[(y – 3)2 – 9] + 24 = 0 e daí, teremos: (x + 2)2 + 4.(y – 3)2 – 4 – 4.9 + 24 = 0, isto é, (x + 2)2 + 4.(y – 3)2 – 16 = 0 ou ainda (x + 2)2 + 4.(y – 3)2 = 16. Dividindo ambos os membros por 16 teremos: (x + 2)2 / 16 + (y – 3)2 / 4 = 1. Logo, o maior valor do denominador que é 16 está sob a incógnita x (portanto o eixo maior está na horizontal) então a2 = 16 logo, a = 4 e b2 = 4, então b = 2 e como, pela equação, trata-se de uma elipse, a2 = b2 + c2 e daí, c2 = 16 – 4 ou c2 = 12, ou seja, c = 2 .
O centro é C(h,k) e como x – h = x + 2 então h = –2 e como y – k = y – 3 então k = 3 logo, C(–2,3).
O eixo menor é 2b então B1B2 = 2.2 = 4.
Os vértices são A1(–2 – 4,–3) = (–6,–3) e A2(–2 + 4,–3) = (2,–3) e B1(–2,–3 + 2) = (–2,–1) e B2(–2,–3 – 2) = (–2,–5).
Os focos são F1(–2 – 2 ,–3) e F2(–2 + 2 ,–3).

10) Determine a excentricidade da elipse de equação 16x2 + 25y2 - 400 = 0.

Resolução: Temos: 16x2 + 25y2 = 400. Observe que a equação da elipse não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então: x2/25 + y2/16 =1
Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4.
Como a2 = b2 + c2 , vem substituindo e efetuando que c = 3
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60
Resp: 3/5 ou 0,60.


11) Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação 9x2 + 25y2 = 225.

Resolução: dividindo ambos os membros por 225, vem: x2/25 + y2/9 =1
Daí, vem que: a2=25 e b2=9, de onde deduzimos: a = 5 e b = 3.
Portanto, como a2 = b2 + c2, vem que c = 4.
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(4,0) e F2(-4,0).

12) Determine a distancia entre os focos da elipse 9x2 +25y2 ? 400 =0.

Resolução: a elipse é a do problema anterior. Portanto a distância entre os focos será:
D = 4 ? (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento).

Referências:

http://www2.dm.ufscar.br/~yolanda/vga/curvas/curvas3.html. Acesso em 12 dez. 2009.

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/curiosidades1.htm

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/elipses.htm
http://www.feiradeciencias.com.br/sala05/05_63.asp